Khi dạy về hình tròn thì thầy tôi không còn cắt/dán nữa, một phần vì khá mất công, một phần vì thầy nghĩ lũ học trò chúng tôi không thể hiểu được. Biết đâu thầy tôi không biết cách cắt/dán hình tròn. Thầy tôi chỉ viết công thức tính diện tích hình tròn và bảo chúng tôi ráng học thuộc lòng.
 |
| Hình 1 |
Có nhiều cách cắt dán hình tròn để chứng minh công thức tính diện tích hình tròn, thí dụ như 2 cách dưới đây.
Cách 1: Cắt
hình tròn thành nhiều hình cánh quạt
|
|
Trong video bên trái, hình tròn được cắt thành 8 hình cánh quạt bằng nhau, và 8 hình cánh quạt này được xếp xen kẻ, ngược xuôi, theo hàng ngang. Thoạt nhìn, thì hình này trông giống như 1 hình bình hành, nhưng cạnh bên trên và cạnh bên dưới cứ nhấp nhô lên xuống, không giống như 1 đường thẳng. Khi người ta cắt hình tròn thành 16, 32, 64 , 128 ... và xếp các hình cánh quạt lại với nhau, thì cạnh trên và cạnh dưới sẽ thành đường thẳng và hình bình hành từ từ biến thành hình chữ nhựt. Vì thế, nếu hình tròn có đường bán kính là “r” thì diện tích của hình tròn là πr2. Bây giờ tôi mới thông cảm với thầy cũ của tôi, vì nói kiểu này thì làm sao học sinh tiểu học hiểu được! |
Cách 2: Cắt hình tròn theo kiểu cắt củ hành
 | ||
| Hình 2 |
Nếu bạn là
người thích các lối chứng minh bằng Toán học, mời bạn đọc tiếp.
 |
| Hình 3 |
Trong tam giác
OAB, chiều cao từ điểm O = r cos(α/2);
cạnh
AB = 2 r sin(α/2).
Diện tích của tam
giác OAB
Diện tích của n hình
cánh quạt
Khi góc tiến tới 0, tỷ số
tiến tới 1 (bạn có thể chứng minh được không? Thí dụ như dùng công
thức MacLaurin của
sin(x)), n hình cánh quạt tiến tới hình tròn. Do đó diện tích hình tròn =
.
2. Cắt hình tròn như cắt củ hành như trong Cách 2
Mỗi vòng
trong củ hành có đường bán kính R, 0 ≤ R ≤ r.
Chu vi của mỗi vòng = 2π
R. Chiều dày của mỗi vòng = dR.
Diện tích của tất cả vòng trong hình tròn
3. Dùng tích phân và toạ độ Descartes
 |
| Hình 4 |
Diện tích của
hình tròn
Dùng y = r sin(θ), x = r cos(θ), tích phân phía trên biến thành
 |
| Hình 5 |
 |
| Hình 6 |
Bạn đã biết công thức tính diện tích hình tròn, bây giờ đố bạn trong Hình 6, vùng I (màu vàng) hay vùng II (màu đỏ) rộng hơn?
Bạn có thể chứng minh bằng cách cắt/dán hay không?
Có bao giờ bạn từng thắc mắc về con số “π” hay không? Thí dụ như π là con số gì? ai là người đã “khám phá”
ra nó? tại sao dùng ký hiệu π? v.v.
Theo link Pi, “π” được định nghĩa là tỷ số của chu vi vòng tròn, chia cho đường kính của vòng tròn. Định nghĩa này là 1 tiên đề (axiom), và dễ dàng được chấp nhận, căn cứ vào cách “cắt củ hành” trong Hình 2.
6. π được dùng từ lúc nào?Không ai biết
tiên đề của “π”
do ai đặt ra và ở thời điểm nào (thật ra các dữ kiện này chưa được tìm thấy trên
Internet; bạn nào biết, xin chia sẻ với người viết). Nhưng, theo link What Is Pi?,
người Babylon đã biết “pi” từ hơn 4000 năm nay. Vào thời buổi bấy giờ, dùng 1 hình
lục giác nằm trọn trong hình tròn để ước tính chu vi hình tròn, người ta đã biết
rằng “π”
lớn hơn 3.125. Sau này, nhà Toán học Archimedes (287
– 212 trước Công nguyên) dùng 96 hình cánh quạt (như trong Cách 1) đã chứng
minh rằng
Năm 1630, nhà thiên văn học Christoph Grienberger dùng hình đa giác (với 1040 cạnh!) tính được trị số của “π” với 38 số lẻ (1 kỷ lục với cách dùng hình đa giác để ước tính hình tròn). Theo link Pi, nhà Toán học người xứ Wales, William Jones, là người đầu tiên đề nghị dùng ký hiệu “π” và chúng ta vẫn còn dùng ký hiệu này cho đến ngày nay.
7. π con số kỳ lạ
π là 1 con số kỳ
lạ (irrational number) với các con số lẻ chạy dài, không bao giờ dứt. Có lẽ bạn
ngạc nhiên: tại sao người ta không vẽ 1 vòng tròn có bán kính 1 m, rồi dùng thước
đo chu vi, để xem tỷ số “π”
là bao nhiêu. Cái khó khăn thứ nhất là thước dựa vào đường thẳng không đo chính
xác được chiều dài theo đường cong. Cái khó khăn thứ hai là thước không có độ
chính xác tuyệt đối, nên tỷ số “chu vi chia cho đường kính” không có độ chính xác
tuyệt đối. Nói cho cùng, mình có thật sự cần số “π” theo dạng “chính xác tuyệt đối” hay
không? Nếu không, thì tội gì phải bận tâm!
Nhưng có người
hiếu kỳ như cô nhân viên người Nhật làm việc cho công ty Google, Emma
Haruka Iwao, vào tháng 3 năm 2019 đã tính π
với
31,415,926,535,897 số lẻ! Cô đã dùng 21 Google’s cloud-based computers chạy liên
tục 121 ngày để có thể đạt được kỷ lục nói trên. Gần đây hơn, vào ngày 16 tháng
8 năm 2021, Thomas
Keller và Heiko Rölke
đã phá kỷ lục tính π với
62,800 nghìn tỷ số lẻ với máy tính mau gấp đôi so với máy tính của Google,
trong vòng 108 ngày 9 tiếng đồng hồ.
Trong khi đó, 1 người Ấn độ, Rajveer Meena, phá kỷ lục đọc thuộc lòng liên tiếp 70,000 số lẻ của
π
trong 9 tiếng 27 phút vào ngày 21 tháng
3 2015! Không thấy ai nói thêm về tài thật, cũng như tài lẻ khác, của người này.
Vì không thể
tính được tất cả các số lẻ của π,
nên tất cả các công thức tính π
có thể được xem như là công thức loại tính ước chừng. Nếu bạn quan tâm về chủ đề
này, mời bạn xem Approximations of π.
Link này khá thú vị vì ngoài các công thức tính π, còn có thêm lịch sử của cánh tính π nữa. Nhờ đó, người viết mới biết rằng ngày xưa các nhà
Toán học Trung hoa cũng quan tâm đến số π; thí dụ như vào thế kỷ thứ V, Zu
Chongzhi ( 祖
沖 之)đã
ước đoán 3,1415926 < π
< 3,1415927, khá chính xác.
Đồng thời link này cũng giải thích thêm về việc
Archimedes chứng minh
9. π trong máy tính
The Beauty of Pi Explained With Animations nói
rằng NASA dùng pi = 3.141592653589793 (in all of its "highest accuracy
calculations, which are for interplanetary navigation”). Nếu bạn sử dụng ngôn
ngữ python, bạn sẽ thấy kết quả sau đây
>>>
math.pi
3.141592653589793
Nếu bạn thắc
mắc không biết “pi” được thể hiện như thế nào trong máy tính, mời bạn xem lời
giải thích rất hay trong Pi and e In Binary
pi với 50 số
lẻ:
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751…
pi với 128
bits đầu tiên:
11.001001000011111101101010100010001000010110100011000010001101001100010011000110011000101000101110000000110111000001110011010001...
Bits 25, 54, 65 được highlight bằng màu xanh lục (để đánh dấu bit cuối cùng
trong single-precision, double-precision và extended-precision dưới dạng binary
floating-point).
Single-Precision
pi
= 1.10010010000111111011011 x 21 = 3.1415927410125732421875, chính xác
khoảng 8 số lẻ.
Double-Precision
pi = 1.1001001000011111101101010100010001000010110100011 x 21 = 3.141592653589793115997963468544185161590576171875, chính xác khoảng 16 số lẻ.
Extended-Precision
pi = 1.100100100001111110110101010001000100001011010001100001000110101 x 21 = 3.14159265358979323851280895940618620443274267017841339111328125
chính
xác khoảng 20 số lẻ.
Dưới đây là vài cách tính π đơn
giản mà ít người biết (theo
lời chỉ dẫn của Giáo sư Rhett Allain trong link 6 Things You Probably Didn't Know About Pi).
(1) Cách I Dùng
Taylor series của arctan(1) = π /4
Công thức
Lập trình Python:
n = 1
p
= 0
sign
= 1.
while
n < 10000:
if n % 2 == 0:
n =n+1
else:
p = p+ 4. *(sign/n)
n = n+1
sign = sign*(-1.)
print
(p)
Kết quả = 3.141392653591791
Nếu n = 100,000, kết quả = 3.1415726535897814; n= 1,000,000, kết quả = 3.141590653589692
Python là 1 lập trình miễn phí, nếu máy của bạn chưa có
Python, bạn có thể xem hướng dẫn từ Python
for Beginners Tutorial.
(2) Cách
II Dùng số ngẫu nhiên (random
numbers)
 |
| Hình 7 |
Trong Hình 7, A có 2 toạ độ x, y; 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Nếu vector OA có chiều dài >1, A nằm ở phía ngoài vòng tròn. Dùng hàm số “random” n lần để tạo trị số của x và y. Nếu m = số điểm A nằm ngoài vòng tròn, thì số “π” có thể tính phỏng chừng bằng công thức
Lý do có số 4
trong công thức phía trên là bởi vì vòng tròn trong Hình 7 chỉ là ¼ của hình tròn.
Lập trình Python:
import
random
n
= 0
m
= 0
while
n< 1000:
x = random.random()
y = random.random()
r = x*x + y*y
if r>= 1:
m = m+1
else:
n = n+1
print
("pi = ", 4. *(1- m/n))
Kết quả của lập
trình này thay đổi theo mỗi execution vì toạ
độ của điểm A được tính theo kiểu ngẫu nhiên. Bạn đừng thất vọng khi thấy kết
quả không như ý muốn; đây chỉ là 1 trò chơi mà thôi!
(3) Cách III Kẻ ô vuông trên hình tròn
 |
| Hình 8 |
Tương tự như trong cách II; nhưng thay vì dùng số ngẫu nhiên để tạo trị số của x và y, ta dùng
x(i) = i *(1/n)
y(j) = j *(1/n);
i = 0, 1, 2,
…n
j = 0, 1, 2,
…n
Lập trình Python trong cách II có thể được sửa đổi như sau
n
=10000
n1
= n+1
inc
= 1/n
m
= 0
for
i in range(n1):
for j in range(n1):
x = i * inc
y = j * inc
r = x*x + y*y
if r> 1: m = m+1
if
i == n and j == n:
print ("pi = ", 4*(1- m/n1**2),
" m = ", m, " n = ", n)
Kết quả như sau
n = 100, “pi” = 3.119302029212822, m = 2246
n = 1000, “pi” = 3.139270320089501, m = 215613
n = 10000, “pi” = 3.1413620161831433, m = 21470243
m = số điểm A nằm ngoài hình tròn.
n càng lớn, “pi” càng tiến gần tới π.
So với cách I, hai
cách II và III buộc máy phải làm việc nhiều hơn nhưng kết quả lại không được chính
xác bằng trong cách I. Lý do đơn giản là cách I dựa theo 1 công thức Toán nên độ
chính xác được bảo đảm cao.
Thay
lời kết
Người viết xưa
nay đặc biệt quan tâm đến hình tròn, bắt đầu từ lúc thấy thầy giáo cầm phấn vẽ
vòng tròn trên bảng đen mà không cần dụng cụ gì cả. Đứa học trò nhỏ như tôi đã
hết sức thán phục thầy vì hình tròn thầy vẽ trông thật hoàn hảo, mọi điểm trên
hình tròn có vẻ như đều cách trung tâm bằng 1 khoảng cách bằng nhau. Tôi đã thử
vẽ vòng tròn bằng tay rất nhiều lần, nhưng chưa bao giờ thành công.
Khi lớn lên, tôi học được 1 ứng dụng của hình tròn: xe chạy êm trên 1 đường bằng phẳng nhờ vào các điểm trên bánh xe đều có cùng khoảng cách với trục bánh xe. Tôi cũng học thêm được 1 ứng dụng của hình tròn: đường nào chạy xuyên tâm của hình tròn cũng đều là trục đối xứng (của hình tròn); vì vậy người ta làm nắp cống theo hình tròn để người thợ dễ dàng gở/đậy nắp mà không cần phải xoay nắp để cho nắp nằm sát vào khung. Nói rộng thêm chút nữa, thì hình cầu cũng có những điểm tương đồng với hình tròn và người ta đã dùng đặc điểm này để làm bóng đá, hòn bi ... Đến tuổi thành hôn, người trưởng thượng dạy thêm: vòng tròn không có điểm đầu, cũng không có điểm cuối nên chiếc nhẫn được thiết kế theo kiểu hình tròn (và để cho dễ đeo nữa) như để nhắc nhở ai sắp thành hôn không nên làm đổ vỡ cuộc sống vợ chồng.
Từ lúc học các công
thức về hình tròn, người viết không hề quan tâm đến số π, nhất là độ chính xác của π vì chưa bao giờ thấy cần thiết. Nay nhờ thầy Google,
người viết được khải thị, biết thêm về π; cảm ơn thầy nha.
